Când cel mai mare matematician viu dezvăluie o viziune pentru următorul secol de cercetare, Matematică Lumea ia notă. Exact asta s -a întâmplat în 1900 la Congresul Internațional al Matematicienilor de la Universitatea Sorbonne din Paris. Matematician legendar David Hilbert prezentat 10 Probleme nesoluționate ca ghiduri ambițioase pentru secolul XX. Ulterior și -a extins lista pentru a include 23 Problemeiar influența lor asupra gândirii matematice din ultimii 125 de ani nu poate fi supraevaluată.
Cea de -a șasea problemă a lui Hilbert a fost una dintre cele mai înalte. El a cerut fizicii „axiomatizante” sau determinarea minimului gol al presupunerilor matematice din spatele tuturor teoriilor sale. Pe scară largă, nu este clar că Fizicieni matematici Ar putea ști vreodată dacă ar fi rezolvat această provocare. Hilbert a menționat totuși unele subgoale specifice, iar cercetătorii și -au perfecționat viziunea în pași concreți către soluția sa.
În martie, matematicienii Yu Deng de la Universitatea din Chicago și Zaher Hani și Xiao Ma de la Universitatea din Michigan au postat o nouă lucrare pe serverul de preprint arxiv.org care pretinde că a crăpat unul dintre aceste obiective. Dacă munca lor rezistă la examinări, aceasta va marca un pas major către fizica de împământare la matematică și poate deschide ușa către analog Descoperiri în alte domenii de fizică.
În lucrare, cercetătorii sugerează că și -au dat seama cum să unifice trei teorii fizice care explică mișcarea fluidelor. Aceste teorii reglementează o serie de aplicații de inginerie, de la proiectarea aeronavelor până la predicția meteorologică – dar până acum s -au bazat pe presupuneri care nu au fost dovedite riguros. Această descoperire nu va schimba ei înșiși teoriile, dar le justifică matematic și ne întărește încrederea că ecuațiile funcționează în modul în care credem că o fac.
Fiecare teorie diferă în cât de mult mărește un lichid sau un gaz curgător. La nivel microscopic, lichidele sunt compuse din particule – mici bile de biliard care se învârt și se ciocnesc ocazional – și Legile mișcării lui Newton Lucrați bine pentru a descrie traiectoriile lor.
Dar, atunci când măriți pentru a lua în considerare comportamentul colectiv al numărului mare de particule, așa-numitul nivel mezoscopic, nu mai este convenabil să modelați fiecare individual. În 1872, fizicianul teoretic austriac Ludwig Boltzmann s -a adresat acestui lucru când a dezvoltat ceea ce a devenit cunoscut sub numele de ecuația Boltzmann. În loc să urmărească comportamentul fiecărei particule, ecuația ia în considerare probabil comportamentul a tipic particulă. Această perspectivă statistică netezește asupra detaliilor la nivel scăzut în favoarea tendințelor de nivel superior. Ecuația permite fizicienilor să calculeze modul în care cantitățile precum impulsul și conductivitatea termică în fluid evoluează, fără a lua în considerare cu atenție fiecare coliziune microscopică.
Măriți mai departe și vă aflați în lumea macroscopică. Aici vedem fluidele nu ca o colecție de particule discrete, ci ca o singură substanță continuă. La acest nivel de analiză, o suită diferită de ecuații – Ecuațiile Euler și Navier-Stokes – Descrieți cu exactitate modul în care se mișcă fluidele și modul în care proprietățile lor fizice se interrelația fără a recurge la particule deloc.
Cele trei niveluri de analiză descriu fiecare aceeași realitate de bază – modul în care fluidele curg. În principiu, fiecare teorie ar trebui să se bazeze pe teoria de mai jos în ierarhie: ecuațiile Euler și Navier-Stokes la nivel macroscopic ar trebui să urmeze logic din ecuația Boltzmann la nivel mezoscopic, care la rândul său ar trebui să urmeze logic din legile de mișcare ale lui Newton la nivel microscopic. Acesta este genul de „axiomatizare” pe care Hilbert l -a solicitat în a șasea problemă și a făcut referire în mod explicit la lucrările lui Boltzmann asupra gazelor din a lui scrierea problemei. Ne așteptăm ca teoriile complete ale fizicii să respecte regulile matematice care explică fenomenul de la microscopic la niveluri macroscopice. Dacă oamenii de știință nu reușesc să elimine acest decalaj, atunci ar putea sugera o neînțelegere în teoriile noastre existente.
Unificarea celor trei perspective asupra dinamicii fluidelor a reprezentat o provocare încăpățânată pentru teren, dar este posibil ca Deng, Hani și MA să fi făcut -o. Realizarea lor se bazează pe zeci de ani de progres incremental. Cu toate acestea, progresele anterioare au venit cu un fel de asterisc; De exemplu, derivările implicate au funcționat doar pe perioade scurte, în vid sau în alte condiții de simplificare.
Noua dovadă constă în mare măsură din trei pași: derivă teoria macroscopică din cea mesoscopică; derivă teoria mezoscopică din cea microscopică; și apoi le împleti împreună într -o singură derivare a legilor macroscopice până la cele microscopice.
Primul pas a fost înțeles anterior și chiar Hilbert însuși a contribuit la ea. Derivarea mezoscopică de la microscopic, pe de altă parte, a fost mult mai provocatoare din punct de vedere matematic. Amintiți -vă, setarea mezoscopică este despre comportamentul colectiv al unui număr mare de particule. Așa că Deng, Hani și Ma au analizat ce se întâmplă cu ecuațiile lui Newton, deoarece numărul de particule individuale care se ciocnește și ricoșarea crește până la infinit, iar dimensiunea lor se micșorează până la zero. Ei au dovedit că atunci când întindeți ecuațiile lui Newton la aceste extreme, comportamentul statistic al sistemului – sau comportamentul probabil al unei particule „tipice” din fluid – converge la soluția ecuației Boltzmann. Acest pas formează o punte prin derivarea matematicii mezoscopice din comportamentul extrem al matematicii microscopice.
Obstacolul major în acest pas a vizat durata de timp pe care ecuațiile o modelase. Era deja cunoscut Cum să obțineți ecuația Boltzmann din legile lui Newton pe perioade de timp foarte scurte, dar acest lucru nu este suficient pentru programul lui Hilbert, deoarece lichidele din lumea reală pot curge pentru orice perioadă de timp. Cu perioade mai lungi de timp vine mai multă complexitate: au loc mai multe coliziuni, iar întreaga istorie a interacțiunilor unei particule ar putea avea comportamentul său actual. Autorii au depășit acest lucru făcând o contabilitate atentă a cât de mult îi afectează istoricul unei particule prezente și folosind noi tehnici matematice pentru a susține că efectele cumulate ale coliziunilor anterioare rămân mici.
Lipit împreună descoperirea lor de timp de lungă durată cu lucrările anterioare privind derivarea Eulerului și Ecuații Navier-Stokes Din ecuația Boltzmann unifică trei teorii ale dinamicii fluidelor. Constatarea justifică luarea perspectivelor diferite asupra lichidelor bazate pe ceea ce este cel mai util în context, deoarece matematic converg pe o teorie finală care descrie o realitate. Presupunând că dovada este corectă, rupe un teren nou în programul lui Hilbert. Nu putem decât să sperăm că, cu doar astfel de abordări proaspete, barajul va izbucni pe provocările lui Hilbert și mai multe fizice vor curge în aval.
Acest articol a fost publicat pentru prima dată la Științific american. © ScientificAmerican.com. Toate drepturile rezervate. Urmați mai departe Tiktok și Instagram, X şi Facebook.